Ekstrakurikuler Tapak Suci

Mencipta Seni, Meraih Prestasi

Mencipta Prestasi Lewat Kegiatan Ekstrakurikuler Tapak Suci .


Kegiatan ekstrakurikuler secara hakiki adalah kegiatan yang memberikan wadah pada siswa untuk pengembangan bakat dan hobby. Lewat pengertian tersebut, ada makna secara implisit bahwa media ekstra adalah media untuk mencipta prestasi pribadi untuk selanjutnya mempersembahkan prestasi secara global, yaitu sekolah dan orang tua. Continue reading

Advertisements

Al-Khawarizmi

Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Muhammad bin Mūsā al-Khwārizmī
Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi edit.png

Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī (Arab: محمد بن موسى الخوارزمي) adalah seorang ahli matematika, astronomi, astrologi, dan geografi yang berasal dari Persia. Lahir sekitar tahun 780 di Khwārizm (sekarang Khiva, Uzbekistan) dan wafat sekitar tahun 850. Hampir sepanjang hidupnya, ia bekerja sebagai dosen di Sekolah Kehormatan di Baghdad

Buku pertamanya, al-Jabar, adalah buku pertama yang membahas solusi sistematik dari linear dan notasi kuadrat. Sehingga ia disebut sebagai Bapak Aljabar. Translasi bahasa Latin dari Aritmatika beliau, yang memperkenalkan angka India, kemudian diperkenalkan sebagai Sistem Penomoran Posisi Desimal di dunia Barat pada abad ke 12. Ia merevisi dan menyesuaikan Geografi Ptolemeus sebaik mengerjakan tulisan-tulisan tentang astronomi dan astrologi.

Kontribusi beliau tak hanya berdampak besar pada matematika, tapi juga dalam kebahasaan. Kata Aljabar berasal dari kata al-Jabr, satu dari dua operasi dalam matematika untuk menyelesaikan notasi kuadrat, yang tercantum dalam buku beliau. Kata logarisme dan logaritma diambil dari kata Algorismi, Latinisasi dari nama beliau. Nama beliau juga di serap dalam bahasa Spanyol Guarismo dan dalam bahasa Portugis, Algarismo yang berarti digit.

Biografi

Sedikit yang dapat diketahui dari hidup beliau, bahkan lokasi tempat lahirnya sekalipun. Nama beliau mungkin berasal dari Khwarizm (Khiva) yang berada di Provinsi Khurasan pada masa kekuasaan Bani Abbasiyah (sekarang Xorazm, salah satu provinsi Uzbekistan). Gelar beliau adalah Abū ‘Abdu llāh (Arab: أبو عبد الله) atau Abū Ja’far.

Sejarawan al-Tabari menamakan beliau Muhammad bin Musa al-Khwārizmī al-Majousi al-Katarbali (Arab: محمد بن موسى الخوارزميّ المجوسيّ القطربّليّ). Sebutan al-Qutrubbulli mengindikasikan beliau berasal dari Qutrubbull, kota kecil dekat Baghdad.

Tentang agama al-Khawārizmī’, Toomer menulis:

Sebutan lain untuk beliau diberikan oleh al-Ṭabarī, “al-Majūsī,” ini mengindikasikan ia adalah pengikut Zoroaster.Ini mungkin terjadi pada orang yang berasal dari Iran. Tetapi, kemudian buku Al-Jabar beliau menunujukkan beliau adalah seorang Muslim Ortodok,jadi sebutan Al-Tabari ditujukan pada saat ia muda, ia beragama Majusi.

Dalam Kitāb al-Fihrist Ibnu al-Nadim, kita temukan sejarah singkat beliau, bersama dengan karya-karya tulis beliau. Al-Khawarizmi menekuni hampir seluruh pekerjaannya antara 813833. setelah Islam masuk ke Persia, Baghdad menjadi pusat ilmu dan perdagangan, dan banyak pedagang dan ilmuwan dari Cina dan India berkelana ke kota ini, yang juga dilakukan beliau. Dia bekerja di Baghdad pada Sekolah Kehormatan yang didirikan oleh Khalifah Bani Abbasiyah Al-Ma’mun, tempat ia belajar ilmu alam dan matematika, termasuk mempelajari terjemahan manuskrip Sanskerta dan Yunani.

Karya

Karya terbesar beliau dalam matematika, astronomi, astrologi, geografi, kartografi, sebagai fondasi dan kemudian lebih inovatif dalam aljabar, trigonometri, dan pada bidang lain yang beliau tekuni. Pendekatan logika dan sistematis beliau dalam penyelesaian linear dan notasi kuadrat memberikan keakuratan dalam disiplin aljabar, nama yang diambil dari nama salah satu buku beliau pada tahun 830 M, al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa’l-muqabala (Arab الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة) atau: “Buku Rangkuman untuk Kalkulasi dengan Melengkapakan dan Menyeimbangkan”, buku pertama beliau yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin pada abad ke-12.

Pada buku beliau, Kalkulasi dengan angka Hindu, yang ditulis tahun 825, memprinsipkan kemampuan difusi angka India ke dalam perangkaan timur tengah dan kemudian Eropa. Buku beliau diterjemahkan ke dalam bahasa Latin, Algoritmi de numero Indorum, menunjukkan kata algoritmi menjadi bahasa Latin.

Beberapa kontribusi beliau berdasar pada Astronomi Persia dan Babilonia, angka India, dan sumber-sumber Yunani.

Sistemasi dan koreksi beliau terhadap data Ptolemeus pada geografi adalah sebuah penghargaan untuk Afrika dan Timur –Tengah. Buku besar beliau yang lain, Kitab surat al-ard (“Pemandangan Bumi“;diterjemahkan oleh Geography), yang memperlihatkan koordinat dan lokasi dasar yang diketahui dunia, dengan berani mengevaluasi nilai panjang dari Laut Mediterania dan lokasi kota-kota di Asia dan Afrika yang sebelumnya diberikan oleh Ptolemeus.

Ia kemudian mengepalai konstruksi peta dunia untuk Khalifah Al-Ma’mun dan berpartisipasi dalam proyek menentukan tata letak di Bumi, bersama dengan 70 ahli geografi lain untuk membuat peta yang kemudian disebut “ketahuilah dunia”. Ketika hasil kerjanya disalin dan ditransfer ke Eropa dan Bahasa Latin, menimbulkan dampak yang hebat pada kemajuan matematika dasar di Eropa. Ia juga menulis tentang astrolab dan sundial.

Buku I – Aljabar

Sebuah halaman dari Aljabar al-Khwārizmī

al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (Arab: الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة Buku Rangkuman Kalkulasi dengan Melengkapkan dan Menyeimbangkan) adalah buku matematika yang ditulis tahun 830.

Buku tersebut merangkum definisi aljabar. Buku ini diterjemahkan ke dalam Bahasa Latin berjudul Liber algebrae et almucabala oleh Robert of Chester (Segovia, 1145) dan juga oleh Gerard of Cremona.

Metode beliau dalam menyelesaikan linear dan notasi kuadrat dilakukan dengan meredusi notasi ke dalam 6 bentuk standar (dimana b dan c adalah angka positif)

  • Angka ekual kuadrat (ax2 = c)
  • Angka ekual akar (bx = c)
  • Kuadrat dan akar ekual (ax2 + bx = c)
  • Kuadrat dan angka akar ekual (ax2 + c = bx)
  • Akar dan angka kuadrat ekual (bx + c = ax2)
  • Kuadrat ekual akar (ax2 = bx)

Dengan membagi koefisien dari kuadrat dan menggunakan dua operasi aljabar (Arab: الجبر penyimpanan atau melengkapkan) dan al-muqābala (menyeimbangkan). Aljabar adalah proses memindahkan unit negatif, akar dan kuadrat dari notasi dengan menggunakan nilai yang sama di kedua sisi. Contohnya, x2 = 40x4x2 disederhanakan menjadi 5x2 = 40x. Al-muqābala adalah proses memberikan kuantitas dari tipe yang sama ke sisi notasi. Contohnya, x2 + 14 = x + 5 disederhanakan ke x2 + 9 = x.

Beberapa pengarang telah menerbitkan tulisan dengan nama Kitāb al-ǧabr wa-l-muqābala, termasuk Abū Ḥanīfa al-Dīnawarī, Abū Kāmil (Rasāla fi al-ǧabr wa-al-muqābala), Abū Muḥammad al-‘Adlī, Abū Yūsuf al-Miṣṣīṣī, Ibnu Turk, Sind bin ‘Alī, Sahl bin Bišr, dan Šarafaddīn al-Ṭūsī.

Buku 2 – Dixit algorizmi

Buku kedua besar beliau adalah tentang aritmatika, yang bertahan dalam Bahasa Latin, tapi hilang dari Bahasa Arab yang aslinya. Translasi dilakukan pada abad ke-12 oleh Adelard of Bath, yang juga menerjemahkan tabel astronomi pada 1126.

Pada manuskrip Latin,biasanya tak bernama,tetapi umumnya dimulai dengan kata: Dixit algorizmi (“Seperti kata al-Khawārizmī”), atau Algoritmi de numero Indorum (“al-Kahwārizmī pada angka kesenian Hindu”), sebuah nama baru di berikan pada hasil kerja beliau oleh Baldassarre Boncompagni pada 1857. Kitab aslinya mungkin bernama Kitāb al-Jam’a wa-l-tafrīq bi-ḥisāb al-Hind (“Buku Penjumlahan dan Pengurangan berdasarkan Kalkulasi Hindu“)

Buku 3 – Rekonstruksi Planetarium

Peta abad ke-15 berdasarkan Ptolemeus sebagai perbandingan.

Buku ketiga beliau yang terkenal adalah Kitāb ṣūrat al-Arḍ (Bhs.Arab: كتاب صورة الأرض “Buku Pemandangan Dunia” atau “Kenampakan Bumi” diterjemahkan oleh Geography), yang selesai pada 833 adalah revisi dan penyempurnaan Geografi Ptolemeus, terdiri dari daftar 2402 koordinat dari kota-kota dan tempat geografis lainnya mengikuti perkembangan umum.

Hanya ada satu kopi dari Kitāb ṣūrat al-Arḍ, yang tersimpan di Perpustakaan Universitas Strasbourg. Terjemahan Latinnya tersimpan di Biblioteca Nacional de España di Madrid. Judul lengkap buku beliau adalah Buku Pendekatan Tentang Dunia, dengan Kota-Kota, Gunung, Laut, Semua Pulau dan Sungai, ditulis oleh Abu Ja’far Muhammad bin Musa al-Khawarizmi berdasarkan pendalaman geografis yamg ditulis oleh Ptolemeus dan Claudius.

Buku ini dimulai dengan daftar bujur dan lintang, termasuk “Zona Cuaca”, yang menulis pengaruh lintang dan bujur terhadap cuaca. Oleh Paul Gallez, dikatakan bahwa ini sanagat bermanfaat untuk menentukan posisi kita dalam kondisi yang buruk untuk membuat pendekatan praktis. Baik dalam salinan Arab maupun Latin, tak ada yang tertinggal dari buku ini. Oleh karena itu, Hubert Daunicht merekonstruksi kembali peta tersebut dari daftar koordinat. Ia berusaha mencari pendekatan yang mirip dengan peta tersebut.

Buku 4 – Astronomi

Kampus Corpus Christi MS 283

Buku Zīj al-sindhind (Arab: زيج “tabel astronomi”) adalah karya yang terdiri dari 37 simbol pada kalkulasi kalender astronomi dan 116 tabel dengan kalenderial, astronomial dan data astrologial sebaik data yang diakui sekarang.

Versi aslinya dalam Bahasa Arab (ditulis 820) hilang, tapi versi lain oleh astronomer Spanyol Maslama al-Majrīṭī (1000) tetap bertahan dalam bahasa Latin, yang diterjemahkan oleh Adelard of Bath (26 Januari 1126). Empat manuskrip lainnya dalam bahasa Latin tetap ada di Bibliothèque publique (Chartres), the Bibliothèque Mazarine (Paris), the Bibliotheca Nacional (Madrid) dan the Bodleian Library (Oxford).

Buku 5 – Kalender Yahudi

Al-Khawārizmī juga menulis tentang Penanggalan Yahudi (Risāla fi istikhrāj taʾrīkh al-yahūdPetunjuk Penanggalan Yahudi“). Yang menerangkan 19-tahun siklus interkalasi, hukum yang mengatur pada hari apa dari suatu minggu bulan Tishrī dimulai; memperhitungkan interval antara Era Yahudi(penciptaan Adam) dan era Seleucid ; dan memberikan hukum tentang bujur matahari dan bulan menggunakan Kalender Yahudi. Sama dengan yang ditemukan oleh al-Bīrūnī dan Maimonides.

Karya lainnya

Beberapa manuskrip Arab di Berlin, Istanbul, Tashkent, Kairo dan Paris berisi pendekatan material yang berkemungkinan berasal dari al-Khawarizmī. Manuskrip di Istanbul berisi tentang sundial, yang disebut dalam Fihirst. Karya lain, seperti determinasi arah Mekkah adalah salah satu astronomi sferik.

Dua karya berisi tentang pagi (Ma’rifat sa’at al-mashriq fī kull balad) dan determinasi azimut dari tinggi (Ma’rifat al-samt min qibal al-irtifā’).

Beliau juga menulis 2 buku tentang penggunaan dan perakitan astrolab. Ibnu al-Nadim dalam Kitab al-Fihrist (sebuah indeks dari bahasa Arab) juga menyebutkan Kitāb ar-Ruḵāma(t) (buku sundial) dan Kitab al-Tarikh (buku sejarah) tapi 2 yang terakhir disebut telah hilang.

Menyederhanakan Bentuk Akar

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, memegang peranan penting dalam mempercepat penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini disebabkan karena, matematika merupakan sarana berfikir untuk menumbuh kembangkan cara berfikir logis, sistematis, dan kritis.

Matematika banyak berhubungan dengan ide-ide abstrak yang diberi symbol-simbol yang tersusun secara hierarkis dan penalarannya deduktif sehingga belajar matematika merupakan kegiatan mental yang tinggi. Karena, kehierarkisan matematika itu, maka belajar matematika  yang terputus-putus akan menggangu terjadinya proses belajar. Ini berarti proses belajar matematika akan terjadi dengan lancar bila belajar itu dilakukan secara kontinyu.

Mempelajari konsep B yang mendasarkan konsep A, seseorang perlu memahami terlebih dahulu konsep A. tanpa memahami konsep A, tidak mungkin orang memahami konsep B. ini berarti mempelajari matematika haruslah bertahap dan berurutan, serta berdasarkan kepada pengalaman belajar yang lalu.  Mengingat pentingnya matematika maka dipandang perlu untuk melakukan perhatian yang lebih baik berbagai pihak untuk meningkatkan mutu hasil belajar matematika. Usaha-usaha yang dilakukan kea rah peningkatan hasil belajar diharapkan akan selalu ditingkatkan.jangkauannya diperluas dan mencakup sasaran yang lebih mendasar seperti peningkatan keterampilan matematis, pengembangan penyelesaian masalah matematika, perbaikan cara belajar natematika dan lain-lain.

Kesulitan belajar atau memahami materi yang dialami para siswa, baik pada jenjang pendidikan tinggi merupakan hal yang selalu menarik untuk ditelusuri, sikap masa bodoh untuk tidak peduli pada terhadap kesulitan yang mereka alami sangat fatal pengaruhnya dan akibatnya bias menjadi anggapan bahwa matematika adalah momok bagi mereka.

Bertolak dari pemikiran di atas dilandasi pengalaman mengajar selama ini   maka, penulis yang kebetulan merupakan Guru SMA dan MA lebih menfokuskan pada permasalahan yang berkaitan dengan materi penyederhanaan bentuk akar yang ada pada pelajaran matematika kelas X. sebab pada materi ini masih banyak siswa yang belum tahu persis bagaimana cara menyederhanakan bentuk akar. Sehingga soal 2 = …….., pada kasus tersebut banyak siswa yang tidak mampu menyelesaikannya bahkan tidak sedikit diantara mereka yang mengatakan soal tersebut tidak dapat dikerjakan karena bilangan dibawah tanda akar tidak sama. Ini disebabkan karena mereka tidak mengetahui cara menyederhanakan akar dan sebelumnya mereka tidak paham materi  faktor prima.

 

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang diatas maka penulis merumuskan permasalahan yang berkaitan dengan siswa yang tidak mampu menyederhanakan akar. Yakni “Bagaimana menyederhanakan bentuk akar dengan faktorisasi prima”

 

C. Batasan Istilah

  1. Bentuk Akar adalah akar suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan rasional. Contoh
  2. Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk  dengan a, b adalah bilangan bulat dan b 0
  3. Bilangan Irrasionl adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk dengan a, b adalah bilangan bulat dan b 0
  4. Bentuk akar yang paling sederhana apabila bentuk akar tersebut tidak  mempunyai satupun faktor bilangan kuadrat.
  5. Akar Kuadrat suatu bilangan adalah bilangan itu dikalikan dengan dirinya memberikan bilangan yang  dibutuhkan. Contoh, berapakah akar kuadrat dari 64? Karena 8 x 8 = 64, maka 8 adalah akar kuadrat dari 64.
  6. Bilangan Kuadarat adalah suatu bilangan yang dapat ditunjukkan sebagai hasil kali dari dua bilangan yang sama. Contoh 25 = 5 x 5, jadi 25 adalah suatu bilangan kuadrat.
  7. Bilangan Prima adalah suatu bilangan asli yang hanya mempunyai dua faktor yaitu 1 dan bilangan intu sendiri. Contoh 2, 3,11,……..
  8. Faktor Prima suatu bilangan adalah suatu faktor prima dari suatu bilangan yang diberikan. Contoh  2 dan 3 adalah faktor prima dari 12.

 

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pengertian Pembalajaran Matematika

Secara umum Gagne Dan Briggs yang dikutip oleh Ismail (1998) mengatakan bahwa pembelajaran sebagai upaya orang yang tujuannnya adalah membantu orang belajar.dan secara lebih terinci  pembelajaran adalah seperangkat acara peristiwa eksternal yang dirancang untuk mendukung terjadinya beberapa proses belajar yang sifatnya internal. Corey yang dikutip oleh ismail (1998) bahwa pembelajaran adalah suatu proses dimana lingkungan seseorang secara sengaja dikelola untuk memungkinkan ia turut serta dalam kondisi-kondisi khusus atau menghasilkan respon terhadap situasi tertentu.

Dalam kamus besar bahasa Indonesia kata pembelajaran adalah kata benda yang diartikan sebagai “proses, cara, menjadikan orang  atau makhluk hidup belajar” kata ini berasal dari kata kerja belajar yang artinya berusaha untuk memperoleh kepandaian atau ilmu, berubah tingkah laku atau tanggapan yang disebabkan oleh pengalaman.

Dari pengertian di atas menunjukkan bahwa pembelajaran berpusat pada kegiatan siswa belajar dan bukan pada berpusat pada kegiatan guru mengajar. Oleh karena itu pada hakikatnya pembelajaran matematika adalah proses yang sengaja dirancang dengan tujuan untuk menciptakan suasana lingkungan memungkinkan seseorang (sipelajar) melaksanakan kegiatan belajar matematika, dan proses tersebut berpusat pada guru mengajar matematika. Pembelajaran matematika harus memberikan peluang kepada siswa untuk berusaha dan mencari pengalaman tentang matematika.

B. Matematika Sekolah

Matematika sekolah sebagai salah satu unsure dalam pembelajaran matematika di sekolah dipandang sebagai salah satu bidang studi. Matematika sekolah tersebut berfungsi sebagai wahana untuk :

  • Meningkatkan ketajaman penalaran siswa yang dapat membentu memperjelas dan menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.
  • Meningkatkan kemampuan berkomunikasi dengan menggunakan bilangan  dan symbol-simbol.

 

C.     Keterkaitan antara guru dan siswa dalam proses pembelajaran matematika di sekolah.

Guru sebagai salah satu perancang kegiatan dalam pembelajaran matematika di sekolah tentunya harus merujuk pada penciptaan kondisi dan situasi lingkungan kelas yang megarah pada terciptanya suasana belajar yang optimal bagi siswanya. Secara umum pembelajaran matematika di sekolah dikatan berhasil jika siswa dapat belajar dengan optimal dan tercapainya tujuan pembelajaran yang ditetapkan, dalam kondisi dan sitiusi lingkungan kel;as yang sengaja diciptakan guru.

Proses pembelajaran matematika melibatkan guru, siswa, dan matematika sekolah. Proses pembelajaran matematika dalam konsep komunikasi pada dasarnya merupakan proses komunikasi antara guru dan siswa, antara siswa  dan siswa dengan sumber belajar. Suatu proses pembelajaran dikatakan baik, jika komunikasi yang terjadi dalam pembelajaran tersebut mampu menimbulkan intensitas proses belajar yang tinggi. Dengan kata lain, komunikasi yang terjadi harus mampu memberikan kemudahan atau fasilitas bagi siswa untuk melakukan proses belajar secara efisien dan efektif.

Dalam pandangan sosiologi, proses pembelajaran merupakan proses sosialisasi dalam lingkungan lingkup kecil yang merupakan bagian dari lingkup yang lebih luas yaitu pendidikan. Dalam pandangan ini kelompok-kelompok dalam kelas meruoakan lingkup paling kecil, yang terintegrasi dalam masyarakat kelas. Masyarakat kelas terintegrasi dalam masyarakat sekolah. Masyarakat sekolah terintegrasi dalam masyarakat luas umumnya. Ini berarti guru mempunyai norma-norma tertentu , dimana guru adalah bagian dari masyarakat itu. Kehidupan di dalam kelompok siswa, kelas, dan sekolah sedikit banyak akan melibatkan hasil-hasil belajar siswa dalam masyarakat yang lebih luas. Semakin beragamnya lingkungan siswa tinggal dimasyarakat luas berdampak pada beragamnya pengetahuan siswa, dengan demikian proses pembelajaran juga memerlukan beragam pendekatan, metode dan teknik.

Pembahasan di atas menenjukkan magaimana kompleksnya masalah pembelajaran matematika. Hendaknya kita sadari bahwa suatu pembelajaran matematika yang dirancang oleh seorang guru tidak dapat menjamin keberhasilan pembelajaran matematika juga dilakukan oleh guru lain dalam situasi lain dan terhadap siswa yang berlainan. Tindakan antisipasi guru yang sifatnya pribadi seharusnya dilakukan. Karena pembelajaran berorientasi pada kegiatan belajar dan bukan pada kegiatan mengajar. Maka kita sebagai guru dituntut untuk untuk memaha,mi teori belajar dengan baik, dituntut untuk menguasai matematika sekolah dan hakikat matematika sebagai unsure pokok dalam pembelajaran matematika.

 

D. Bentuk Akar

Bentuk akar merupakan salah satu bentuk dari bilangan irasional. Sebelum membahas bentuk akar perlu kita pahami lebih dahulu pengertian bilangan terukur. Perhatikan  contoh- contoh berikut.

  • adalah bilangan terukur sebab dapat digambar sebagai sebuah ukuran tertentu.
  • adalah bilangan terukur karenadapat digambarkan sebagai berikut

Panjang Ab = 2 satuan  dan panjang BC = 1 satuan sehingga panjang AC  satuan . garis AC dapat diperpanjang sehinnga membentuk CD dengan ukuran yang sama AC sehingga jika panjang AC =  maka panjang AD = 2. Garis tersebut dapat kita perpanjang terus menerus dengan ukuran yang sama dengan panjang AC.

  • Apakah ? Hal ini dapat diselidiki dengan cara sebagai berikut. Dengan membentuk sebuah segitiga siku-siku dengan gambaran seperti berikut, tampak bahwa .

Dari contoh-contoh tersebut tampak bahwa , ,  jika diberikan ukuran 1 satuan di kertas maka kita dapat melukis bilangan yang digambarkan oleh bilangan-bilangan tersebut dengan garis dan jangka. Setelah mengetahui konsep dasar bilangan terukur kita dapat mengetahui pengertian bentuk akar.

Sebagai contoh :

Jika a suatu bilangan positif. Demikian pula dengan bukan – 5. sekarang berapakah nilai dari , , ? Bentuk-bentuk tersebut disebut bentuk akar, yaitu akar suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan rasional. Bentuk akar termasuk bilangan irrasional. Adapun bentuk , ,  bukan bentuk akar karena kita dapat menentukan bilangan rasional untuk nilai tersebut, yaitu, = 2, = 4, = 8.

E. Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar

a). Penjumlahan dan pengurangan

penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akar pada bilangan-bilangan  yang dijumlahkan atau dikurangkan itu sama.dengan demikian, jika a, c R dan b , berlaku :

 

b). Perkalian dan Pembagian

perhatikan kembali pengertian kar pangkat dua sebuah bilangan, yaitu untuk a, b . Bsrdasarkan definisi di atas berlaku sifat berikut  :

 

F. Kejadian-kejadian yang sering Muncul di kelas mengenai Bentuk Akar

Kasus 1

Tentukanlah nilai dari +  = ….

Terkadang siswa berkata soal di atas tidak dapat diselesaikan sebab penjumlahan bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akar yang akan dijumlahkan sama.

Kasus 2

Tentukanlah bentuk sederhana dari ?

Masih banyak kalangan guru yang menjelaskan soal diatas dengan berkata

”Carilah satu bilangan kuadrat yang jika dikalikan dengan satu bilangan maka hasilnya 45” maka siswa akan berusaha mencari bilangan tersebut dan setelah beberapa detik seorang siswa mengacungkan tangannnya dan menjawab “9 x 5” dan tidak sedikit dari mereka yang tidak dapat menemukan bilangan 9 dan 5 tersebut sehingga melalui bimbingan guru siswa mengubah menjadi sehingga diperoleh = 3.

Kasus 3

Tentukanlah bentuk sederhana dari ?

Dengan semangat empat limanya siswa mengerjakan seperti apa yang terjadi pada kasus 2. lima menit kemudian si Ali menjawab 4 karena sebelumnya ia telah mendapatkan bilangan kuadrat yang dikalikan dengan sebuah bilangan memberikan hasil 80 yakni 16 x 5. Tak lama kemudian Seorang siswa perempuan menjawab 2 karena sebelumnya ia juga telah mendapatkan bilangan kuadrat yang dikalikan dengan sebuah bilangan memberikan hasil 80 yakni 4 x 20. Yang manakah jawaban yang benar?

G. Cara menyederhanakan bentuk Akar

Contoh 1. Tentukanlah bentuk sederhana dari

Cara penyelesaiannya sebagai berikut:

1.      Buatlah faktorisasi prima dari bilangan 80 dengan menggunakan tabel (boleh pohon faktor)

  80
2 40
2 20
2 10
2 5
5 1

 

2.      Urailah bilangan 80 menjadi perkalian faktorisasi primanya sehingga diperoleh 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5

3.       boleh dituliskan  atau

4.      Sifat perkalian bentuk akar adalah sehingga bentuk dapat dituliskan x x

5.      Sifat akar berikutnya adalah sehingga bentuk xx  dapa dituliskan 2 x 2 x = 4

Jadi bentuk sederhana dari  adalah 4

 

Contoh 2 Tentukanlah nilai dari +  = ….

Terlebih dahulu soal diatas diubah atan disederhanakan sehingga menjadi bentuk akar yang sama sehingga dapat dijumlahkan

Diperoleh 3+ 5 = 8

 

BAB III

PENUTUP

1. Kesimpulan

  • Menyederhanakan bentuk akar dapat dilakukan dengan faktorisasi prima.
  • Bentuk akar yang paling sederhana apabila bentuk akar tersebut tidak  mempunyai satupun faktor berupa bilangan kuadrat.
  • Bentuk akar bisa saja mempunyai lebih dari satu faktor berupa bilangan kuadrat.
  • Faktor Prima suatu bilangan adalah suatu faktor prima dari suatu bilangan yang diberikan.

2. Saran